Тема урока: Три правила нахождения первообразных


Тема урока: Три правила нахождения первообразных

Урок 1, 11 класс


Цели урока:

  1. Рассмотреть правила нахождения первообразных.
  2. Научить учащихся применять данные правила при решении задач.

Ход урока:

I. Организационный момент (5 минут)

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку.


II. Актуализация знаний (10 минут)

Для начала вспомним, что такое первообразная.

Первообразная функции

F'(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x), то есть:

 F'(x) = f(x)

Первообразная может быть не единственной, потому что добавление любой константы CCC к первообразной не изменит производную:

 \frac{d}{dx} [F(x) + C] = F'(x) = f(x)


III. Изучение нового материала (25 минут)

Сегодня мы рассмотрим три основных правила нахождения первообразных, которые помогут вам при решении задач.

1. Правило первообразной степенной функции

Если функция имеет вид f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn, где n≠−1n \neq -1n=−1, то её первообразная будет:

 F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Пример:

 f(x) = x^2, \quad F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} + C

2. Правило первообразной для экспоненциальной функции

Первообразная функции вида f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex равна:

 F(x) = e^x + C

Пример:

 f(x) = e^x, \quad F(x) = e^x + C

3. Правило первообразной для тригонометрических функций
  • Первообразная функции f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf(x)=sinx равна:

 F(x) = -\cos x + C

  • Первообразная функции f(x)=cos⁡xf(x) = \cos xf(x)=cosx равна:

 F(x) = \sin x + C

Пример:

 f(x) = \sin x, \quad F(x) = -\cos x + C


IV. Применение знаний на практике (15 минут)

Решим несколько задач, применяя изученные правила.

Задача 1: Найти первообразную функции f(x)=3x2f(x) = 3x^2f(x)=3×2.

Решение:

Применим правило первообразной степенной функции:

 F(x) = \frac{3x^{2+1}}{2+1} = \frac{3x^3}{3} = x^3 + C

Ответ:  F(x) = x^3 + C .

Задача 2: Найти первообразную функции f(x)=5exf(x) = 5e^xf(x)=5ex.

Решение:

Применим правило первообразной для экспоненциальной функции:

 F(x) = 5e^x + C

Ответ:  F(x) = 5e^x + C .

Задача 3: Найти первообразную функции f(x)=cos⁡xf(x) = \cos xf(x)=cosx.

Решение:

Применим правило первообразной для тригонометрических функций:

 F(x) = \sin x + C

Ответ:  F(x) = \sin x + C .


V. Закрепление материала (5 минут)

Подведем итог:

  • Мы изучили три основных правила нахождения первообразных: для степенных, экспоненциальных и тригонометрических функций.
  • Решили несколько задач с применением этих правил.

VI. Домашнее задание

Найдите первообразные для следующих функций:

  1.  f(x) = 2x^3
  2.  f(x) = 7e^x
  3.  f(x) = \sin x + \cos x

VII. Рефлексия (5 минут)

Обсуждение: какие правила нахождения первообразных показались наиболее понятными? Какие вызвали затруднения?