Лекции >> Математика >> Решение задач >> Задачи по течению и против течения реки

Задачи по течению и против течения реки

Уравнение, которое составляют на основании условий задачи на движение, обычно содержат такие величины как расстояние, скорость и время движущихся объектов. 

Пройденный путь S определяется по формуле S=v*t  где v- скорость, t – время. 

Если объект, имеющий собственную скорость V в стоячей воде, движется по течению реки, 

скорость течения реки которой равна U, то скорость объекта (относительно берега) будет равна  V + U.

Если объект движется против течения реки, то скорость объекта (относительно берега) будет равна  V- U (очевидно, что должно выполняться V>U).

Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то считают, что плот имеет ту же скорость, что и течение реки, т.е. U.

Обращайте особое внимание на единицы измерения – они в течение всего решения должны быть одинаковыми. Если это часы, то время должно на протяжении всей задачи выражаться в 


часах, а не в минутах, не должно в одном решении применяться километры и метры, путь в километрах, а время в часах, то скорость в километрах в часах.

Нужно все время помнить, о том что в текстовых задачах все величины, как правило, поло-жительны (ибо в природе скорости и расстояния положительны).


Решим задачу.

Моторная лодка прошла 4 км против течения реки, а затем прошла еще 33км по течению реки, затратив на это один час. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 6,5км/ч.


Проанализируем задачу, выделим все условия; установим, какие объекты входят в условие; какие характеристики или отношения между объектами заданы в условии.

- Обозначим через  Х км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

- Выразим скорость движения моторной лодки по течению реки.

- Выразим скорость движения моторной лодки против течения реки.

- Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь по течению реки.

- Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь против течения реки.

- Составим уравнение, учитывая, что на весь путь моторная лодка затратила 1 час.

- Решим уравнение.

- Исключим те из корней уравнения, которые не соответствуют условию задачи.

Решение.


Обозначим через км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

Тогда скорость моторной лодки по течению реки равна ( Х+6,5) км/ч, а против течения реки - ( Х-6,5) км/ч.

Время, затраченное моторной лодкой по течению реки -  часов, а против течения реки - часов.

Зная, что моторная лодка на весь путь затратит один час, составим уравнение:
+ =1.


Решение уравнения.


+ =1, если то умножим обе части уравнения на , получим

33 ( x - 6,5 )+ 4 ( x + 6,5 )=
( x - 6,5 ) * ( x + 6,5 ),



  

x1 = 4,5  и  x2 = 32,5 

Если
x1 = 4,5  и  x2 = 32,5  то , значит  x1 = 4,5  и  x2 = 32,5  - являются корнями данного уравнения.

4,5 км/ч- не удовлетворяет условию задачи (при такой скорости моторная лодка не поплыла бы против течения реки).

32,5 км/ч – скорость моторной лодки в стоячей воде.

Ответ. 32,5 км/ч.

 


Задача № 1. Пункты А и В расположены на берегу реки. Почтальон доставляет корреспонденцию из А в В на моторной лодке, проплывая против течения число километров, равное тому значению k  в 

уравнении  при котором дискриминант его равен единице. Определите 

скорость течения реки, если на весь путь туда и обратно уходит 1ч 6 мин 40 сек, а скорость дви- 

жения лодки в стоячей воде 9,6 км /ч.


Решение.


Зная, что число километров равно тому значению k в уравнении
при котором дискриминант его равен единице, т.е.

 


 



 

S, км

V, км/ч

t, ч

по течению

реки



 

9.6 + x


против тече-

ния реки

5

 

9.6 - x


 

Пусть  x км/ч скорость течения реки.

Зная, что на весь путь туда и обратно уходит 1ч 6 мин 40 сек, т.е. 10 / 9 часа, составим уравнение:


+ .

Решение уравнения.



+ . если то умножим обе части уравнения на получим











x = 2,4

При 
x = 2,4 выражение то  x = 2,4 - корень уравнения.


2,4 км/ч - скорость течения реки.


Ответ. 2,4 км/ч.


Задача № 2. От пристани А к пристани В вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и 

байдарка. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Последнюю 1/10 часть пути от А до В моторная 

лодка плыла с выключенным мотором, и ее скорость относительно берега была равна скорости

течения. На той части пути, где моторная лодка плыла с работающим мотором, ее скорость была

на 8 км/ч больше скорости байдарки. К пристани В моторная лодка и байдарка прибыли одновре-

менно. Найти собственную скорость (скорость в неподвижной воде) байдарки. 


Решение.


Пусть x км/ч собственная скорость байдарки.

 



 

S, км

V, км/ч

t, ч

моторная 

лодка

9/10 S

x + 2.8


байдарка

S

 

x  + 2


моторная 

лодка

1/10 S

2


 

Зная, что к пристани В моторная лодка и байдарка прибыли одновременно, составим уравнение: 

+ = .


Решение уравнения.



+ = , если то умножим обе части уравнения на и то разделим обе части уравнения на S, получим







,


 x1 =  -18 - не удовлетворяет условию задачи, так как x > 0
 

 x2 = 8,

Если  x = 8, то то x = 8 корень уравнения.


8 км/ч – собственная скорость байдарки.


Ответ. 8 км/ч.


Задача № 3. Из пункта А в пункт В по течению отплывает лодка. Одновременно с ней из пункта В против тече-ния отправляется катер, который, прибывает в А, не останавливаясь, следует обратно в пункт В, а 

из В так же без остановки отправляется в А. На этом последнем участке маршрута катер опять 

встречает лодку, которая прошла к этому моменту 3/4 пути от А до В. Скорость лодки при движе- 

нии по течению в 9 раз больше ее скорости при движении против течения. Во сколько раз скорос-

ть катера, движущегося по течению, больше скорости лодки, движущейся против течения?

Решение.


Пусть  x км/ч собственная скорость лодки, а t км/ч скорость течения реки. Зная, что скорость лодки при движении по течению реки в 9 раз больше ее скорости при движении против течения, т.е.

 0,8 x км/ч скорость течения реки.

 y км/ч собственная скорость катера.



 

S, км

V, км/ч

t, ч

лодка
 

3/4 S

x + 0,8 X


катер
 

S

 

y - 0.8 x


катер 

S

 

y + 0.8 x


катер

1/4 S

y - 0.8 x


 

Зная, что катер и лодка до последней встречи находились в пути одно и то же время, составим уравнение: 

+ + = .

Решение уравнения.


+ + = .

 = , если то умножим обе части уравнения на и то разделим обе части уравнения на S, получим





так как по условию задачи x>0 то разделим обе части уравнения на 3x

получим

 пусть  тогда 

 не удовлетворяет условию задачи, т.к  t > 0, 

 - во столько раз скорость катера, движущегося по течению, больше скорости лодки, движущейся по течению.

то 

Ответ. 32 / 9


Задача № 4. В озеро впадает две реки. Лодка отплывает от пристани А на первой реке, плывет 36 км вниз до озера, далее 19 км по озеру (в озере нет течения) и 24 км по второй реке против течения до пристани В, затратив 8 часов на весь путь от А до В. Из этих 8 часов 2 часа лодка плывет по озеру. Скорость течения первой реки на 1 км/ч больше, чем скорость течения второй реки. Найти ско-рость течения каждой реки. (Собственная скорость лодки, т. е. скорость лодки в стоячей воде, постоянна).


Решение.


Пусть 9,5 км/ч собственная скорость лодки, x км/ч скорость течения реки.

 



 

S, км

V, км/ч

t, ч

лодка вниз по

течению по первой реке

36

9.5 + x + 1


по озеру
 

19

 

9,5

2

лодка против

течения по

второй реке 

24

 

 9.5 - x



 

Зная, что из 8 часов 2 часа лодка плывет по озеру, составим уравнение:

+ = 6.


Решение уравнения.



+ = 6., если то умножим обе части уравнения на , получим 













x1 = - 0,5 не удовлетворяет условию задачи, так как x>0.


x2 = 1.5

Если x = 1.5, то то  x = 1.5 - корень уравнения.

Если
x = 1.5 то .


1,5 км/ч скорость течения второй реки, а 2,5 км/ч скорость течения первой реки.


Ответ. 2,5 км/ч и 1,5 км/ч.


Задача № 5. От пристани А вниз по течению реки одновременно отплыли теплоход и плот. Теплоход, доплыв до пристани В, расположенной в 324 км от пристани А, простоял там 18 часов и отправился назад в А. В тот момент, когда он находился в 180 км от А, второй теплоход, отплывший из А на 40 часов позднее первого, нагнал плот, успевший к этому моменту проплыть 144 км. Считая, что скорость течения реки постоянная, скорость плота равна скорости течения реки, а скорости теплоходов в стоячей воде постоянны и равны между собой, определить скорости теплоходов и течения реки.


Решение.


Пусть x км/ч собственные скорости теплоходов, а y км/ч скорость течения реки.

 



 

S, км

V, км/ч

t, ч

первый теплоход по течению реки

324

x + y


плот
 

144

 

y


первый теплоход против те-

течения реки 

324 - 180 =144

x - y


второй теплоход по

течению реки

144

x + y



 

Зная, что первый теплоход и плот находились в пути одно и то же время, составим уравнение: 




Зная, что второй теплоход отплыл из А на 40 часов позднее первого, составим уравнение:


- = 40.


Составим систему: 


Решение системы:



1. Из второго уравнения выразим x через y, - = 40., так как то умножим 

обе части уравнения на  получим 




2подставляя во второе уравнение , получим


  





 если то умножим обе части уравнения на 

 получим








 


Если  то 


Если  то что не удовлетворяет условию задачи.


15 км/ч скорости теплоходов, 3 км/ч скорость течения реки.


Ответ. 15 км/ч, 3 км/ч.


Задача № 6. В реку впадает приток. Катер отходит от пристани А на притоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке вверх против течения до пристани В, затратив 18 час. на весь путь от А 

до В. Затем катер возвращается обратно. Время обратного движения от В до А по тому же 

пути равно 15 часов. Собственная скорость катера, т.е. скорость катера в стоячей воде, равна 

18 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Каково расстояние от пристани А до пристани В 

и какова скорость течения притока? 


Решение.

Пусть  км расстояние по реке , тогда км расстояние от пристани А до пристани В, 

а км/ч скорость течения реки.

 



 

S, км

V, км/ч

t, ч

по течению

притока

80



против тече-

ния реки 

 



 

15


по течению 

реки 


21


против тече-

ния притока

80




 

Зная, что на весь от А до В катер затратил 18 часов, составим уравнение:  +  = 18.

Зная, что время обратного движения от В до А по тому же пути равно 15 часов, составим урав-нение:  +  = 15.


Составим систему: 

Решение системы: 

1. Из первого уравнения выразим S через , получим 

2. Из второго уравнения выразим через , получим 

3. Составим уравнение: 




 если то умножим обе части уравнения на , получим 

 

 данное уравнение равносильно системе














 - не удовлетворяет условию задачи, так как 

.

Если то 324-

Если то 

то 


2 км/ч скорость течения реки, 290 км расстояние от пристани А до пристани В.


Ответ. 2 км/ч, 290 км.


Лекция добавлена 28.05.2012 в 05:31

Смотрите также:
Задачи на движение по воде
Как решать задачи
Задачи на производительность